1, 2, 4, 8, 16, __?

Điều gì đang diễn ra? Có thể ngay tại lúc này đây, tại một ngôi trường ngẫu nhiên trên thế giới, người giáo viên đáng kính hay cậu học trò chăm ngoan đang giữ trọn niềm tin về một lý tính không thể sai lầm, mạnh dạn bước lên trước chiếc bảng đen và điền rõ ràng số 32 vào ô trống như một đáp án khả dĩ duy nhất có thể của dãy số vừa được viết ra. Wow, cả lớp tán thành trong im lặng, không có một cánh tay nào đại diện cho phe phản đối được cất lên. Rồi tiết học cứ kéo dài trong lãng xẹt cho đến khi tiếng trống điểm hết giờ và mọi người chia tay nhau với một chút ký ức mỏng manh còn sót lại về một trong những bài toán số học dễ dàng nhất đã từng giải của mình.

Anonymous Biography

32

Một con số không thể thuyết phục hơn. Nhưng liệu chúng ta có thể có con số khác hay không?

31

Vô lý. Bạn sẽ nghĩ rằng điều đó không nào có thể xảy ra trong một môn học chính xác như toán học được. Vâng, bạn đã đúng. Nhưng có lẽ nếu câu nói đến tai Kurt Gödel thì ông ấy sẽ dạy cho bạn biết thế nào là mệnh đề không quyết định được (Undecidable propositions). Và nếu may mắn hơn được Schrödinger nghe thấy, rất có thể ông ấy sẽ chỉ cho bạn cách lên youtube xem video giải trí về con mèo lượng tử.

Cat’s Schrödinger.

Mười phút trôi qua. Thời gian xem video kết thúc và đã đến lúc bắt đầu hành trình đi tìm tính hợp lý của giả thuyết về dãy số tưởng chừng như phi lý: SN = a1, a2, a3 ,… , aN = 1, 2, 4, 8, 16, 31. Let’s go 😀

Đầu tiên hãy tưởng tượng chúng ta có một đường tròn. Để hình dung một cách trực quan, để tôi lấy ra một ví dụ thực tế về một cánh đồng hình tròn ở Nĩu Ước. Bây giờ, giả sử như tôi là người duy nhất sỡ hữu toàn bộ khu vực rộng lớn này, tôi không cần phải vẽ ra một điểm trên đoạn biên giới nào để phân biệt ranh giới của tôi với người sỡ hữu khác cả. Nói cách khác chúng ta có thể biễu diễn dưới dạng tập hợp (set): A = {my_crop_land}. Tập hợp này có một phần tử tương đương với con số đầu tiên của dãy SN.

Related image

Vậy đâu là con số tiếp theo? Đây, đó chính là số khu vực được chia ra trên cánh đồng bằng một dây cung từ hai điểm bất kì và dành tặng một phần đó cho vợ tôi, người tôi đã đi cùng từ những ngày tháng chập chững thanh xuân cho đến bây giờ tóc đã lấm tấm hoa râm của một thời mệnh phụ. Và Lại tiếp tục bằng một phép ước lệ, chúng ta có:
A = {my_crop_land, mywife_crop_land}.
SN = 1, 2 , a3, … ,aN

:)) Đùa chút thôi. Và bây giờ là câu hỏi cho quy luật thực sự của dãy SN:

tối đa bao nhiêu khu vực được tạo ra từ các điểm trên đường tròn ? Như đã thấy từ trước, với n là số điểm thì với n lần lượt bằng 12 cho ta kết quả a1 = 1, a2 = 2 và SN = 1, 2 . Chúng ta sẽ xét tiếp cho đến trường hợp n = 6.

Cho trường hợp n = 3, chúng ta dễ dàng có được a3 = 4;

Cho trường hợp n = 4, chúng ta có a4 = 8;

Cho trường hợp n = 5, chúng ta có a5 = 16;

Cho trường hợp n = 6, chúng ta có a6 = 31;

Wow, vậy là bằng mắt thường chúng ta đã chứng minh được dãy SN = 1, 2, 4, 8, 16, 31. là hoàn toàn có cơ sở hợp lí. Nhưng chứng minh bằng toán học thì sao?

Hm… Trước khi đi vào chứng minh, chúng ta cần thêm một điều kiện nhỏ bài toán để tránh trường hợp hy hữu có thể xảy ra:

Bài toán chỉ được xét trong trường hợp không có bất cứ ba đường thẳng nào giao nhau tại một điểm trong đường tròn (trans: Rõ ràng là trừ những điểm trên đường tròn nha). ? 😀 ? .Tại sao nhỉ? Tại vì nếu có thêm ràng buộc thì đó là bài toán Circle Division By Chords, còn không nó có thể trở thành một trong những bài toán khó khăn nhất trong lịch sử.

Anonymous Seer

Đây là một bài toán khó và tất nhiên cũng giống như những bài toán rất khó khác, tỉ như Fermat’s Last Theorem, chưa có nhà toán học nào có thể bắt tay vào giải quyết luôn trường hợp tổng quát được, mà phải đặt câu hỏi và giải quyết cho từng trường hợp cụ thể hơn như Pythagore với n = 2 và Euler với n = 3 chẳng hạn. Và với bài toán này cũng vậy, chúng ta cần trả lời cho 2 câu hỏi đơn giản hơn trước đã:
1. Có bao nhiêu đường thẳng?
2. Có bao nhiêu điểm giao nhau?

Để trả lời cho câu hỏi đầu tiên, chúng ta cần nhớ lại tuổi thơ một chút. Đường thẳng là gì? Đó là khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm theo hình học Euclid (hehe, đang xét trong không gian 2 chiều mà nhỉ?). Vậy là từ 2 điểm khác nhau chúng ta có một đường thẳng. Với n = 6, thì để chọn điểm đầu tiên trên đường tròn, có 6 cách chọn, để chọn điểm thứ hai trên đường tròn khác với điểm thứ nhất, chúng ta có 5 cách chọn. Và số đường thẳng có thể có được là: 6*5/2 = 15 (đường thẳng). Nói một cách ngắn gọn hơn theo ngôn ngữ toán học thì số đường thẳng bằng tổ hợp chập 2 của 6 phần tử:
lines = ^2C_6=\frac{6!}{2!(6-2)!} ( ^nC_k=\frac{n!}{k!(n-k)!}) .
Nếu có bạn nào không nhớ hay phân vân tại sao lại tổ hợp (Combination) mà không phải là chỉnh hợp (Arrangement) thì chú ý rằng:

Chỉnh hợp = Tổ hợp + Hoán vị (Arrangement = Combination + Permutation)

Chúng ta chỉ đếm số đường thẳng có được không phân biệt đầu, đuôi nên trường hợp này dùng chỉnh hợp là chính xác. Công thức có thể viết lại đơn giản hơn thành: lines = {N\choose k} = {6\choose 2}. (Binomial Coefficient)

Với câu hỏi tiếp theo: Có bao nhiêu điểm giao nhau?(Số điểm giao nhau này là số điểm nằm trong đường tròn). Chúng ta dễ dàng thấy rằng một điểm giao nhau nằm bên trong đường tròn được tạo ra từ bốn điểm nằm trên đường tròn.

Image result for circle division by chords

Do đó số điểm giao nhau từ tập hợp n điểm nằm trên đường tròn là tổ hợp chập 4 của n = ^4C_N=\frac{N!}{4!(N-4)!}. Với n = 6, chúng ta có số điểm giao nhau là:
intersection points = ^4C_6=\frac{6!}{4!(6-4)!} = 15.

Hai câu hỏi không quá khó khăn nhỉ? Vậy chúng ta sẽ làm gì tiếp theo với lượng dữ kiện đã có vừa rồi? Các nhà toán học trong tháp ngà gợi ý rằng nên gọi tên Euler một lần nữa nhưng không phải đóng góp cho chứng minh thế kỷ trong định lý cuối cùng của Pierre de Fermat mà là một thành tựu khác còn vĩ đại hơn nhiều của ông: Euler characteristic . Đặc trưng Euler được phát biểu như sau:

The Euler characteristic {\displaystyle \chi } was classically defined for the surfaces of polyhedra, according to the formula
{\displaystyle \chi =V-E+F}
where VE, and F are respectively the numbers of vertices (corners), edges and faces in the given polyhedron. Any convex polyhedron‘s surface has Euler characteristic
{\displaystyle V-E+F=2.}

Đại ý là với bất cứ khối đa diện lồi nào thì lấy số đỉnh cộng với số mặt rồi trừ đi số cạnh luôn bằng 2. Thật đáng ngạc nhiên nhưng có vẻ hơi vô dụng với bài toán của chúng ta thì phải, khối đa diện và hình tròn chả liên quan với nhau cho lắm. Các nhà toán học lại bảo: Quan trọng là trí tưởng tượng, quan trọng là tìm thấy sự liên quan giữa những thứ chẳng hề can hệ gì với nhau. Và đúng là quan trọng thật, logbasex phóng viên thường trú tại kinh đô toán học thế giới Göttingen, Germany, dẫn lời nhà toán học vĩ đại nhất Châu Âu nửa đầu thế kỉ 20 David Hilbert

Anonymous Reporter

Ái chà chà, vậy thì làm sao áp dụng đặc trưng Euler vào bài toán này nhỉ?
Hãy tưởng tượng về cách chúng ta có được các đỉnh của một khối đa diện lồi trên một mặt phẳng hai chiều bằng cách chọn lát cắt tiết diện lớn nhất của hình khối đó đi qua các đỉnh, (ví dụ như trong hình dưới, tiết diện lớn nhất được tạo thành từ hai đỉnh ngoài cùng bên trái và hai đỉnh ngoài cùng bên phải) sau đó có được các đỉnh còn lại là hình chiếu vuông góc của nó lên mặt phẳng. Từ đó tìm được các cạnh rồi thay thế vào công thức, chúng ta sẽ có được số khu vực tối đa được tạo thành từ các điểm trên đường tròn bằng đúng chính xác số mặt của khối đa diện lồi.
{\displaystyle F=E-V+2.}

Và làm tương tự với trường hợp của chúng ta (Để dùng được đặc trưng Euler vào trường hợp này, cần phải xem xét các vòng cung màu đỏ nhưng các cạnh của khối đa diện):
V(Đỉnh) = Số điểm trên đường tròn + số điểm giao trong đường tròn
 {= n + {n\choose 4}}
E(Cạnh) = Số cạnh nằm trên đường tròn + số cạnh nằm trong đường tròn
{=} (Số đường + (Số đỉnh) * 2) + số điểm nằm trên đường tròn
 {= {n\choose 2} + 2{n\choose 4} + n}
F(Mặt) = E – V + 2
 {= {n\choose 2} + 2{n\choose 4} + n} - {n + {n\choose 4}} + 2)
 {= 2 + {n\choose 2} + {n\choose 4}}
Tuy nhiên do số mặt có được bao gồm tiết diện lớn nhất (Đường tròn) không phải là mặt phẳng nên chúng ta có  {F = 1 + {n\choose 2} + {n\choose 4}}
Với trường hợp n = 6 thì số mặt là 31 và đó cũng đúng bằng số khu vực được chia bằng 6 điểm trên đường tròn. Bài toán đã được chứng minh.

case n = 7.

Read more: https://epicmath.org/2013/02/13/7-very-misleading-sequences/

Reference:
https://www.youtube.com/watch?v=K8P8uFahAgc&vl=en
https://www.quora.com/What-is-the-next-number-in-this-sequence-2-4-8-16
http://mathworld.wolfram.com/BinomialCoefficient.html
https://en.wikipedia.org/wiki/Dividing_a_circle_into_areas